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metadata.dc.type: Tese
Title: Sobre alguns aspectos geométricos da gravitação: mergulhos do espaço- tempo em dimensões superiores, a conjectura de Wheeler e variedades de Weyl
metadata.dc.creator: Avalos, Rodrigo
metadata.dc.contributor.advisor1: Romero Filho, Carlos Augusto
metadata.dc.contributor.advisor-co1: Dahia, Fábio Leal de Melo
metadata.dc.description.resumo: Nesta tese, abordamos diferentes aspectos geométricos da gravitação: a conjectura do “thin sandwich” de Wheeler, o mergulho do espaço-tempo em dimensões superiores e variedades de Weyl. Começando pelo primeiro, lembramos que esta conjectura, apresentada no contexto do modelo do superespaço para o espaço-tempo, propõe que, nos dados iniciais para o problema de Cauchy da relatividade geral, é possível especificar livremente a métrica induzida sobre a hipersuperficie inicial, tanto quanto sua derivada temporal, i.e,g e g, e resolver as equações de vínculo em termos do shift e do lapse. Este problema tem sido estudado e é sabido que a conjectura falha em condições genéricas [16]. Apesar disto, R. Bartnik e G. Fodor mostraram que, em um entorno de dados iniciais com condições geométricas particulares, o problema do sanduíche fino está bem colocado e a conjectura é verdadeira [17]. Esta prova, feita para o caso da relatividade geral, ou seja, um espaço tempo de quatro dimensões, é generalizada neste trabalho para dimensões superiores, e, além disso, também é mostrado que as condições geométricas necessárias para as provas podem ser sempre satisfeitas no caso de variedades compactas. Desta forma, concluímos que em qualquer variedade compacta de n-dimensões, n ≥ 3, existe um aberto no espaço dos possíveis dados iniciais para o problema do thin-sandwich em que a conjectura de Wheeler é verdadeira. Em seguida, mostramos que o resultado obtido para o problema do thin-sandwich tem um valor geométrico próprio, oferecendo uma caracterização do espaço de soluções das equações de vínculo da relatividade geral que nos fornece as ferramentas necessárias para mostrar um resultado de mergulho para variedades Lorentzianas compactas, com métricas no espaço de Sobolev Hs+3, s > n 2, em espaços Ricci-flat. Este resultado, que se insere no programa iniciado com as extensões dos teoremas de Campbell-Magaard [25],[26],[27],[28], estabelece uma nova estratégia para o estudo do mergulho do espaço tempo da relatividade geral em espaços de maior dimensão com propriedades geométricas particulares. Também resolve duas das principais limitações dos teoremas de Campbell Magaard, já que o resultado requer uma regularidade baixa para as métricas envolvidas, e, ademais, o resultado é global. Além disso, comparado com os melhores resultados conhecidos para este tipo de mergulhos, nosso resultado reduz drasticamente a codimensão do espaço ambiente. Finalmente, apresentamos um conjunto de resultados sobre imersão no contexto da geometria de Weyl. Nesta direção, primeiramente destacamos a relevância física dessas estruturas, mediante o enfoque axiomático para o espaço-tempo proposto por Elhers, Pirani e Schild em [39]. Assim, apresentamos uma discussão rigorosa sobre a existência do segundo efeito relógio em um espaço-tempo de Weyl e concluímos que, dentro deste enfoque axiomático, a estrutura mais geral que pode modelar o espaço-tempo é uma estrutura do tipo Weyl integrável. Logo depois disto, mostramos que o teorema de Campbell-Magaard tem uma extensão natural no contexto das estruturas Weyl integrável, mas que, no contexto não-integrável, é possível mostrar obstruções para a existência da imersão. Ademais, mostramos um forte teorema que proíbe a existência de emersões isométricas de estruturas de Weyl não-integráveis de dimensão maior que 3, em estruturas de Weyl de qualquer dimensão, com métricas positivas definidas, nas quais o tensor de Ricci tem parte simétrica nula e com qualquer regularidade para a métrica e 1-forma de Weyl (pelo menos C2). Particularmente, no caso de imersões de estruturas não integráveis de três dimensões em espaços de Weyl de quatro dimensões, estas restrições não são válidas e é possível provar um teorema do tipo Campbell-Magaard. Concluiremos analisando o problema de valores iniciais para um tipo de teorias escalar tensor geométricas baseadas em um espaço-tempo modelado em uma estrutura de Weyl integrável, onde mostraremos que tal problema está bem colocado no vácuo.
Abstract: In this thesis we present several embedding problems related to modern theories about space-time. First we deal with the so called thin sandwich conjecture proposed by J. A. Wheeler. We show that the Bartnik-Fodor theorem extends naturally to higher dimensions and that, furthermore, the geometric hypotheses needed for the proofs can always be satisfied on compact manifolds. From this result, we conclude that on any compact n-dimensional manifold, n ≥ 3, there is an open set in the space of possible initial data where the thin sandwich problem is well-posed. Then, we apply this result to prove that any compact n-dimensional Lorentzian manifold, n ≥ 3, with metric in the Sobolev space Hs+3, s > n 2, has an embedding in a (2n+2)-dimensional Ricci-flat semi-Riemannian manifold. This result improves the codimension needed for the embedding quite drastically compared with previously known results. Finally, we study some embedding problems within the context of Weyl’s geometry. With respect to this problem, we show that the Campbell-Magaard theorem naturally extends to the Weyl integrable case, but, in the general case we find some no-go results and, as a very particular case, for the embed ding of 3-dimensional Weyl structures, there is as an analogue of the Campbell-Magaard theorem. We conclude by analysing the initial value formulation of a particular class of geometric scalar-tensor theories of gravity, where we will show that the vacuum case is well-posed.
Keywords: Relatividade geral
Problema de cauchy
Conjectura do sanduíche-fino
Mergulhos Ricci-flat
Teoremas de Campbell-Magaard
Estruturas de Weyl
Teorias escalar-tensor geométricas
General Relativity
Cauchy problem
Thin-Sandwich conjecture
Ricci-flat embeddings
Campbell-Magaard theorems
Weyl structures
Geometric scalar-tensor theories
metadata.dc.subject.cnpq: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::FISICA
metadata.dc.language: por
metadata.dc.publisher.country: Brasil
Publisher: Universidade Federal da Paraíba
metadata.dc.publisher.initials: UFPB
metadata.dc.publisher.department: Física
metadata.dc.publisher.program: Programa de Pós-Graduação em Física
metadata.dc.rights: Acesso Aberto
Attribution-NoDerivs 3.0 Brazil
metadata.dc.rights.uri: http://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/br/
URI: https://repositorio.ufpb.br/jspui/handle/123456789/12782
Issue Date: 3-Mar-2017
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